Hukum Poiseuille: Mengapa Jejari Tiub Sangat Penting

Apabila bendalir likat mengalir melalui tiub yang sempit, alirannya tidak sama laju di seluruh keratan rentas. Lapisan yang bersentuhan dengan dinding diperlahankan oleh geseran, manakala bahagian tengah bergerak lebih laju. Bagi aliran laminar yang mantap dalam tiub lurus, hubungan antara beza tekanan, ukuran tiub dan sifat bendalir dirumuskan oleh Hukum Poiseuille.

Beza tekanan memacu aliran

Bendalir mengalir dari tekanan yang lebih tinggi ke tekanan yang lebih rendah. Dalam model Poiseuille, kadar aliran isi padu Q ditulis sebagai Q = πr⁴ΔP / (8ηL). Di sini ΔP ialah beza tekanan antara kedua-dua hujung tiub, r ialah jejari tiub, η ialah kelikatan dinamik bendalir dan L ialah panjang tiub. Jika faktor lain dikekalkan, beza tekanan yang dua kali ganda menghasilkan kadar aliran yang dua kali ganda.

Jejari mempunyai kesan yang sangat besar

Ciri paling menonjol dalam persamaan ini ialah kebergantungan Q pada kuasa empat jejari, r⁴. Jika jejari digandakan dan faktor lain tidak berubah, kadar aliran meningkat sebanyak 2⁴ = 16 kali. Sebaliknya, jika jejari dikecilkan separuh, kadar aliran tinggal satu per enam belas daripada nilai asal. Itulah sebabnya sedikit penyempitan pada salur atau tiub sudah menaikkan rintangan aliran dengan ketara.

Kelikatan dan panjang menambah rintangan

Bendalir yang lebih likat lebih sukar mengalir, dan tiub yang lebih panjang menambah rintangan kerana bendalir berinteraksi dengan dinding sepanjang jarak yang lebih besar. Kesan ini dikumpulkan dalam rintangan aliran R = 8ηL / (πr⁴), sehingga Q = ΔP / R. Bentuk ini serupa dengan hukum Ohm: beza tekanan memacu aliran, manakala R menentangnya. Kelikatan dan panjang menaikkan R secara berkadar terus, tetapi jejari menurunkannya dengan sangat kuat.

Halaju tertinggi berada di pusat

Bendalir yang menyentuh dinding tiub dianggap tidak bergerak relatif kepada dinding. Andaian ini dikenali sebagai syarat tanpa gelincir. Bagi bendalir Newton dalam tiub bulat, syarat ini menghasilkan profil halaju berbentuk parabola: halaju sifar pada dinding dan maksimum di paksi tengah tiub, iaitu dua kali ganda halaju purata. Kadar aliran keseluruhan ialah hasil tambah gerakan semua lapisan ini, bukan halaju satu titik sahaja.

Hukum ini mempunyai syarat penggunaan

Hukum Poiseuille tepat untuk aliran laminar yang mantap dan telah berkembang penuh bagi bendalir tak termampat yang mematuhi hubungan kelikatan Newton, melalui tiub lurus, tegar dan berjejari seragam. Darah sebenar mengalir dalam salur yang anjal dan bercabang, dan sifat reologinya boleh menyimpang daripada model mudah. Apabila aliran menjadi turbulen, model ini perlu diganti atau diperluas. Oleh itu hukum ini sangat berguna sebagai anggaran dan asas pemahaman, tetapi bukan gambaran lengkap semua aliran biologi. Sebagai panduan kasar, aliran dalam tiub bulat lazimnya laminar apabila nombor Reynolds Re = ρvD/η kurang daripada kira-kira 2 000, dengan v laju purata dan D diameter tiub; nilai ini tidak tepat kerana peralihan kepada aliran turbulen juga bergantung pada gangguan dalam aliran.

Contoh: jika jejari salur dikecilkan 10% (r menjadi 0.9r) dengan ΔP, η dan L yang sama, Q menjadi 0.9⁴ ≈ 0.66 kali nilai asal, iaitu turun kira-kira 34%. Untuk mengekalkan Q yang sama, ΔP perlu dinaikkan kira-kira 1/0.66 ≈ 1.5 kali. Ini ialah gambaran model tiub tegar; salur darah sebenar anjal dan bercabang.

Sejarah ringkas

Gotthilf Hagen menerbitkan ukuran aliran dalam tiub sempit pada 1839, dan Jean Léonard Marie Poiseuille, yang mengkaji aliran darah dalam salur kecil, menerbitkan hasil bebasnya pada 1840 dan 1846. Hubungan ini juga dikenali sebagai hukum Hagen-Poiseuille.

Bagaimana kita mengetahui hal ini?